Xét sự hội tụ của chuỗi số dương

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài bác giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-31

1. Các dấu hiệu so sánh (The basic comparison test):

Xét chuỗi

*

Lúc kia trường hợp tổng riêng biệt phần

*
là hàng không sút với giả dụ nó bị chặn bên trên thì chuỗi (1) hội tụ.

Bạn đang xem: Xét sự hội tụ của chuỗi số dương

1.1 Dấu hiệu đối chiếu nhì chuỗi số dương :

1.1.1 Dấu hiệu so sánh 1:

Cho hai chuỗi

*
thỏa điều kiện:
*
(*). Khi đó:

Nếu chuỗi

*
quy tụ thì
*
quy tụ.

trái lại, ví như chuỗi

*
phân kỳ thì
*
phân kỳ.

Chứng minch

Không mất tính tổng quát, trả sử

*
.

hotline Sn với Tn là tổng riêng biệt phần tương ứng của chuỗi (1) và chuỗi (2)

Do (*) ta có: Sn ≤ Tn

Vì chuỗi (2) quy tụ buộc phải Tn → T

Vì các số hạng của chuỗi luôn dương đề xuất Tn

1.1.2 Dấu hiệu đối chiếu 2 :

Cho hai chuỗi số dương

*
,
*

Giả sử

*

1. Nếu k = 0 thì chuỗi (2) quy tụ suy ra chuỗi (1) quy tụ.

2.

*
thì nhị chuỗi cùng quy tụ hoặc thuộc phân kỳ.

3.

*
thì chuỗi (1) quy tụ suy ra chuỗi (2) hội tụ.

Chứng minh

Chứng minch hiệu quả 1:

Do

*
nên:

*
.

Vậy theo dấu hiệu đối chiếu 1, trường hợp chuỗi (2) hội tụ thì chuỗi (1) quy tụ.

Xem thêm: Tổng Cục Phòng Chống Thiên Tai Top Stories, Video, Image Pack

Chứng minh hiệu quả 2:

Giả sử

*
. Lúc đó, do
*
nên:

*

Vậy theo dấu hiệu so sánh 1, nếu chuỗi (2) quy tụ thì chuỗi (1) quy tụ.

Mặt khác do

*
.

Vì vậy, theo bên trên, ví như chuỗi (1) quy tụ thì chuỗi (2) hội tụ.

Vậy mệnh đề 2 đúng

Kết quả 3 được suy ra từ bỏ công dụng 1 và 2.

1.1.3 Tiêu chuẩn tích phân:

Xét hàm số

*
với f giảm. Với hầu hết
*
, đặt
*

lúc đó: tích phân suy rộng lớn

*
hội tụ lúc và chỉ còn lúc chuỗi
*
hội tụ.

1.2 Tiêu chuẩn D’Alambert cùng Cauchy:


*

Image by mseery via Flickr


1.2.1. Tiêu chuẩn Cauchy (tiêu chuẩn chỉnh cnạp năng lượng thức) – Cauchy’s root kiểm tra ( Cauchy’s radical test):

Cho

*
là chuỗi số dương. Giả sử rằng:

*
x_n = C " class="latex" />

lúc đó họ có:

1. Nếu C 1, thì chuỗi

*
là phân kỳ.

3. Nếu C = 1, thì chuỗi

*
có thể hội tụ hoặc phân kỳ. Nói giải pháp không giống, ta chưa thể kết luận được sự quy tụ của chuỗi.

1.2.2 Tiêu chuẩn chỉnh D’Lambert – ratio test:

Cho

*
là chuỗi số dương sao cho
*
. Giả sử rằng:

*

khi đó họ có:

1. Nếu D 1, thì chuỗi

*
là phân kỳ.

3. Nếu D = 1, thì chuỗi

*
rất có thể quy tụ hoặc phân kỳ. Nói cách không giống, ta chưa thể kết luận được sự quy tụ của chuỗi.